Day 12: Solution method by QZ form

# Day 12: Solution method by QZ form
## 経済動学 (2017Q1)
### 佐藤 健治
### 2017-05-25

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## 宿題 / Homework Assignment

Reminder: HW08

Visit https://github.com/rokko-ed17q1/hw-portal

> Due 2017-05-28 18:00.
> Hand in by Pull Request.

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## Weierstrass form の復習

行列のペア `$(E,A)$` が与えられたとき, 正則行列 `$V$`, `$W$` により
`$$\begin{aligned}
  W^{-1}AV
  &=
  \begin{bmatrix}
   J  & \\
      & I
  \end{bmatrix}
  =
  \left[\begin{smallmatrix}
    \star & \star  &        &       &   &        &   \\
          & \ddots & \ddots &       &   &        &   \\
          &        & \star  & \star &   &        &   \\ 
          &        &        & \star &   &        &   \\
          &        &        &       & 1 &        &   \\
          &        &        &       &   & \ddots &   \\ 
          &        &        &       &   &        & 1 \\ 
  \end{smallmatrix}\right]
  \\
  W^{-1}EV
  &=
  \begin{bmatrix}
   I &  \\
     & N
  \end{bmatrix}
  =
  \left[\begin{smallmatrix}
    1 &        &   &   &        &        &   \\
      & \ddots &   &   &        &        &   \\
      &        & 1 &   &        &        &   \\ 
      &        &   & 0 & 1      &        &   \\
      &        &   &   & \ddots & \ddots &   \\
      &        &   &   &        & 0      & 1 \\ 
      &        &   &   &        &        & 0 \\ 
  \end{smallmatrix}\right]
\end{aligned}$$`

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## Weierstrass form から QZ分解

`$W^{-1}AV$`, `$W^{-1}EV$` のいずれも上三角行列になっていることに注意しよう.

Schur分解のときに確認したように, **上三角化によって不安定固有値から forward-lookingサブシステムを作れれば問題が解ける。これは `$E \neq I$` の場合でも同様**

Schur 分解を行列ペアに対して拡張することで, 一般化Schur分解あるいはQZ分解と呼ばれる標準化の方法が得られる.

ユニタリ変換による標準化は数値的に望ましい性質を持つので, 実用的にはQZ分解を利用したシステム解析法がもっとも使いやすい.

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## QZ分解

.theorem[
任意の正方行列のペア `$E,A\in\mathbb{F}^{n\times n}$` に対して, 適当なユニタリ行列 `$Q$`, `$Z$`
を選べば 
`$$Q^{*}AZ=T,\qquad Q^{*}EZ=S$$`
が上三角行列になるようにできる. ペンシル `$(E,A)$` がレギュラーであれば, `$T$` と `$S$` の対角成分の比が `$(E,A)$`
の有限固有値の集合と一致する. すなわち 
`$$\mathrm{sp}(E,A)=\left\{ \frac{t_{ii}}{s_{ii}}\ \mid\ s_{ii}\neq0,\ i=1,\dots,n\right\}$$`
]

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### 証明

Golub and Van Loan (2013) にしたがう。

`$\{E_{k}\}$` を `$E$` に収束する正則行列の列とする. `$AE_{k}^{-1}$` を Schur 分解するユニタリ行列を `$Q_{k}$`
とすれば,

`$$Q_{k}^{*}\left(AE_{k}^{-1}\right)Q_{k}=R_{k}$$`

は上三角行列である. `$E_{k}^{-1}Q_{k}$` にQR分解 (Unitary `$\times$` Upper Triangular) をほどこして,

`$$E_{k}^{-1}Q_{k}=Z_{k}S_{k}^{-1}$$`

`$S_{k}^{-1}$` は上三角行列で, `$Z_{k}$` はユニタリ行列.

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#### cont'd

したがって

`$$Q_{k}^{*}AZ_{k}=R_{k}S_{k}$$`

を得る.

正則な上三角行列の逆行列もまた上三角行列なので, `$S_{k}$` は上三角行列. したがって, `$R_{k}S_{k}$` は上三角行列である.

`$$T_{k}:=R_{k}S_{k}$$`

とする.

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#### cont'd

`$E_{k}^{-1}Q_{k}=Z_{k}S_{k}^{-1}$` に右から `$S_{k}$`, 左から `$E_{k}$`を掛けて

`$$Q_{k}S_{k}=E_{k}Z_{k}$$`

さらに左から `$Q_{k}^{-k}=Q_{k}^{*}$` を掛けて

`$$S_{k}=Q_{k}^{*}E_{k}Z_{k}$$`

を得る. `$|\det Q_{k}|=|\det Z_{k}|=1$` が成り立つので, `$Q_{k}$`, `$Z_{k}$` は `$\mathbb{F}^{n\times n}$`
の有界な点列である. ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理により, `$\{(Q_{k},Z_{k})\}$` は収束する部分列 `$\{(Q_{k_{i}},Z_{k_{i}})\}_{i}$`
を持つ.

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#### cont'd

極限を `$(Q,Z)$` とすれば
`$$\begin{aligned}
\lim_{i\to\infty}Q_{k_{i}}^{*}A_{k_{i}}Z_{k_{i}} & =Q^{*}AZ=T=\lim_{i\to\infty}T_{k_{i}}\\
\lim_{i\to\infty}Q_{k_{i}}^{*}E_{k_{i}}Z_{k_{i}} & =Q^{*}EZ=S=\lim_{i\to\infty}S_{k_{i}}
\end{aligned}$$`
が成り立つ. `$T$`, `$S$` が上三角行列であることは明らか. `$Q$`, `$Z$` がユニタリであることは, 
`$$I=Q_{k_{i}}^{*}Q_{k_{i}}\to Q^{*}Q,\quad I=Z_{k_{i}}^{*}Z_{k_{i}}\to Z^{*}Z$$`
から分かる.

---

#### cont'd

有限固有値に関する性質は, 
`$$\begin{aligned}
|\det(\lambda E-A)| & =|\det(\lambda QSZ^{*}-QTZ^{*})|\\
 & =|\det Q\cdot\det(\lambda S-T)\cdot\det Z^{*}|\\
 & =|\det(\lambda S-T)|\\
 & =\prod|\lambda s_{ii}-t_{ii}|
\end{aligned}$$`
から従う.

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## R Code: Example in QZ Package

```r
(A <- QZ::exAB2$A)
```

```
##      [,1] [,2]  [,3] [,4]
## [1,]  3.9 12.5 -34.5 -0.5
## [2,]  4.3 21.5 -47.5  7.5
## [3,]  4.3 21.5 -43.5  3.5
## [4,]  4.4 26.0 -46.0  6.0
```

```r
(E <- QZ::exAB2$B)
```

```
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    2   -3    1
## [2,]    1    3   -5    4
## [3,]    1    3   -4    3
## [4,]    1    3   -4    4
```

---

### R Code: QZ::qz() in QZ Package

```r
(ret <- QZ::qz(A, E))
```

```
## ALPHA:
## [1] 3.801+0.000i 3.030+4.040i 1.563-2.084i 4.000+0.000i
## 
## BETA:
## [1] 1.900 1.010 0.521 1.000
## S:
##       [,1]   [,2]    [,3]    [,4]
## [1,] 3.801 31.326 -61.485 -66.836
## [2,] 0.000  3.351   7.074   6.692
## [3,] 0.000 -1.192   1.410   4.379
## [4,] 0.000  0.000   0.000   4.000
## 
## T:
##      [,1]   [,2]    [,3]   [,4]
## [1,]  1.9 -1.078 -5.6252 -9.987
## [2,]  0.0  1.176  0.0000  1.751
## [3,]  0.0  0.000  0.4474  1.090
## [4,]  0.0  0.000  0.0000  1.000
## 
## Q:
##        [,1]     [,2]    [,3]       [,4]
## [1,] 0.4642  0.81159  0.3547  1.665e-16
## [2,] 0.5002 -0.06975 -0.4950 -7.071e-01
## [3,] 0.5002 -0.06975 -0.4950  7.071e-01
## [4,] 0.5331 -0.57585  0.6198  3.331e-16
## 
## Z:
##          [,1]     [,2]     [,3]       [,4]
## [1,] 0.996056  0.08183 -0.03428  0.000e+00
## [2,] 0.005692 -0.44454 -0.89574 -1.665e-16
## [3,] 0.062609 -0.63075  0.31343  7.071e-01
## [4,] 0.062609 -0.63075  0.31343 -7.071e-01
```

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### R Code: 確認

`QZ::qz()` が実QZ分解を計算していることに注意する

```r
all.equal(t(ret$Q) %*% A %*% ret$Z, ret$S) 
```

```
## [1] TRUE
```

```r
all.equal(t(ret$Q) %*% E %*% ret$Z, ret$T) 
```

```
## [1] TRUE
```

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### R Code: Reordering

固有値

```r
abs(ret$ALPHA / ret$BETA)
```

```
## [1] 2 5 5 4
```

現れる順番を並べ替えるには, `QZ::qz.dtgsen()` を使う

```r
ord <- abs(ret$ALPHA / ret$BETA) <= 4.001
ret2 <- QZ::qz.dtgsen(ret$S, ret$T, ret$Q, ret$Z, select = ord)
abs(ret2$ALPHA / ret2$BETA)
```

```
## [1] 2 4 5 5
```

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## Klein (2000) の決定論版

`$(E,A)$` をレギュラーとする. ここではシステム

`$$Ex_{t+1}=Ax_{t}+Bu_{t},\quad x\in\mathbb{R}^{n},\quad u\in\mathbb{R}^{m}$$`

に対する解公式をQZ分解を用いて導出する

これまでと同様, `$x_{0}=(x_{0}^{1},x_{0}^{2})\in\mathbb{R}^{n_{1}}\times\mathbb{R}^{n_{2}}$`
には初期条件 `$x_{0}^{1}=\bar{x}_{0}^{1}$` が与えられている. 幾何数列の発散スピードを超えない `$(x_{t})_{t\ge0}$`
を実行可能な解とする.

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### つづき

`$(E,A)$` の 実QZ分解
`$$\begin{aligned}
Q^{*}EZ & =S=\begin{bmatrix}
S_{ss} & S_{su}\\
0 & S_{uu}
\end{bmatrix},\\
Q^{*}AZ & =T=\begin{bmatrix}T_{ss} & T_{su}\\
0 & T_{uu}
\end{bmatrix}
\end{aligned}$$`

`$$S_{ss}\in\mathbb{R}^{n_{s}\times n_{s}},\ S_{su}\in\mathbb{R}^{n_{s}\times n_{u}},\ S_{uu}\in\mathbb{R}^{n_{u}\times n_{u}}$$`

`$$T_{ss}\in\mathbb{R}^{n_{s}\times n_{s}},\ T_{su}\in\mathbb{R}^{n_{s}\times n_{u}},\ T_{uu}\in\mathbb{R}^{n_{u}\times n_{u}}$$`

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### つづき

左上ブロックが安定な有限固有値に対応するようにする

したがって,

* `$S_{ss}$` は正則である. 
* `$(E,A)$` がレギュラーなので `$T_{uu}$` は必ず正則になる.

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## 変数変換

これまでと同様に

`$$\begin{bmatrix}
y_{t}^{s}\\
y_{t}^{u}
\end{bmatrix}
=
Z^{*}
\begin{bmatrix}
x_{t}^{1}\\
x_{t}^{2}
\end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{n_{s}}\times\mathbb{R}^{n_{u}}$$`

と変数変換すると,
`$$\begin{bmatrix}S_{ss} & S_{su}\\
0 & S_{uu}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{t+1}^{s}\\
y_{t+1}^{u}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}T_{ss} & T_{su}\\
0 & T_{uu}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{t}^{s}\\
y_{t}^{u}
\end{bmatrix}+Q^{*}Bu_{t}$$`

---

#### つづき

ただし, 
`$$Z=\begin{bmatrix}Z_{1s} & Z_{1u}\\
Z_{2s} & Z_{2u}
\end{bmatrix}$$`

`$$Q^{*}B=\begin{bmatrix}C_{s}\\
C_{u}
\end{bmatrix}$$`

としておこう. `$T_{uu}$`, `$S_{uu}$` は上三角行列なので, `$T_{uu}^{-1}$` および `$T_{uu}^{-1}S_{uu}$`
も上三角行列になる.

`$S_{uu}$` , `$T_{uu}$` の定義から, `$T_{uu}^{-1}S_{uu}$` は絶対値が1以下の固有値のみをもつ行列である.

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## バックワードサブシステム

`$$y_{t}^{u}=(T_{uu}^{-1}S_{uu})y_{t+1}^{u}-T_{uu}^{-1}C_{u}u_{t}$$`

が `$y_{t}^{u}$` を決定する.

発散スピードに対する仮定から

`$$y_{t}^{u}=-\sum_{k=0}^{\infty}\left(T_{uu}^{-1}S_{uu}\right)^{k}T_{uu}^{-1}C_{u}u_{t+k}$$`

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## 初期値の決定

未知数の決定は線形方程式

`$$\begin{bmatrix}Z_{1s} & 0\\
Z_{2s} & -I
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{0}^{s}\\
x_{0}^{2}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I & -Z_{1u}\\
0 & -Z_{2u}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\bar{x}_{0}^{1}\\
\bar{y}_{0}^{u}
\end{bmatrix}$$`

によることもこれまでと同じ.

** `$Z_{1s}$` が正則な正方行列であるときに `$t=0$` 時点の変数を一意に定めることができる**

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## 再帰公式

再帰方程式を導出するにあたって, `$u_{t+1}=\Phi u_{t}$` を仮定する. (のちほどこの仮定を外す)

`$y_{t}^{u}=Mu_{t}$` とすると `$M$` はシルベスタ方程式
`$$\begin{aligned}
M & -T_{uu}^{-1}S_{uu}M\Phi=-T_{uu}^{-1}C_{u}
\end{aligned}$$`
を満たす

Backward-looking システムの方程式より

`$$\begin{aligned}
y_{t+1}^{s} & =S_{ss}^{-1}T_{ss}y_{t}^{s}-S_{ss}^{-1}S_{su}y_{t+1}^{u}+S_{ss}^{-1}T_{su}y_{t}^{u}+S_{ss}^{-1}C_{s}u_{t}\\
 & =S_{ss}^{-1}T_{ss}y_{t}^{s}-\left(S_{ss}^{-1}S_{su}M\Phi-S_{ss}^{-1}T_{su}M-S_{ss}^{-1}C_{s}\right)u_{t}.\nonumber 
\end{aligned}$$`

---

### `$h$`

変数変換の公式 `$y_{t}^{s}=Z_{1s}^{-1}\left(x_{t}^{1}-Z_{1u}y_{t}^{u}\right)$` を使ってさらに計算を進めると,
`$$\begin{aligned}
x_{t+1}^{1}
&= Z_{1s}S_{ss}^{-1}T_{ss}Z_{1s}^{-1}x_{t}^{1}+Lu_{t}\\
&=: h(x_t^1, u_t)
\end{aligned}$$`

を得る. ただし,
`$$\begin{aligned}
L
&=-Z_{1s}S_{ss}^{-1}T_{ss}Z_{1s}^{-1}Z_{1u}M\\
&\qquad +Z_{1s}S_{ss}^{-1}\left(T_{su}M-S_{su}M\Phi+C_{s}\right)+Z_{1u}M\Phi\end{aligned}$$`

---

### `$g$`

続いて, `$x_{t}^{2}$` に関する方程式を導出しよう. 変数変換の定義より
`$$Z_{2s}y_{t}^{s}-x_{t}^{2}=-Z_{2u}y_{t}^{u},\quad y_{t}^{s}=Z_{1s}^{-1}\left(x_{t}^{1}-Z_{1u}y_{t}^{u}\right)$$`
が成り立つので, 
`$$\begin{aligned}
x_{t}^{2} & =Z_{2s}y_{t}^{s}+Z_{2u}y_{t}^{u}\\
 & =Z_{2s}Z_{1s}^{-1}\left(x_{t}^{1}-Z_{1u}y_{t}^{u}\right)+Z_{2u}y_{t}^{u}\\
 & =Z_{2s}Z_{1s}^{-1}x_{t}^{1}+(Z_{2u}-Z_{2s}Z_{1s}^{-1}Z_{1u})Mu_{t}\\
 & =: g(x_t^1, u_t)
\end{aligned}$$`
したがって, 次の公式を得た.

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## Klein (2000) の主要結果

`$Ex_{t+1} = Ax_t + Bu_t$` をQZ分解を用いて解くと, 解は
`$$\begin{aligned}
x_{t+1}^{1} & =Z_{1s}S_{ss}^{-1}T_{ss}Z_{1s}^{-1}x_{t}^{1}+Lu_{t},\\
x_{t}^{2} & =Z_{2s}Z_{1s}^{-1}x_{t}^{1}+(Z_{2u}-Z_{2s}Z_{1s}^{-1}Z_{1u})Mu_{t}
\end{aligned}$$`
によって表される. ただし, `$x_{0}^{1}$` は所与, `$S$`, `$T$`, `$Z$`, `$M$`, `$C$` やその分解は上で与えたもの

`$$\begin{aligned}
L & =-Z_{1s}S_{ss}^{-1}T_{ss}Z_{1s}^{-1}Z_{1u}M \\
&\qquad +Z_{1s}S_{ss}^{-1}\left(T_{su}M-S_{su}M\Phi+C_{s}\right)+Z_{1u}M\Phi,\\
M & =\mathrm{vec}^{-1}\left(\left(\Phi^{\top}\otimes S_{uu}-I\otimes T_{uu}\right)^{-1}\mathrm{vec}(C_{u})\right)
\end{aligned}$$`

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## QZ解法の一般公式

一般の `$u$` に対する公式は次のように表現できる. `$t=0,1,\dots$` に対して, 
`$$\begin{aligned}
x_{t+1}^{1} & =\Omega_{x}x_{t}^{1}+\Omega_{u}u_{t}+\Omega_{y}y_{t+1}^{u}\\
x_{t}^{2} & =\Psi_{x}x_{t}^{1}+\Psi_{y}y_{t}^{u}
\end{aligned}$$`

ただし, `$x_{0}^{1}$` は所与であり, `$y_{t}^{u}$` は決定性の条件から定まる.
行列, `$\Omega_{x}$`, `$\Omega_{u}$`, `$\Omega_{y}$`, `$\Psi_{x}$`, `$\Psi_{y}$`
を導出しよう.

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### 練習問題

係数行列は次のようになる。証明せよ。

`$$\begin{aligned}
\Omega_{x} & =Z_{1s}S_{ss}^{-1}T_{ss}Z_{1s}^{-1}\\
\Omega_{u} & =Z_{1s}S_{ss}^{-1}\left[(T_{ss}Z_{1s}^{-1}Z_{1u}-T_{su})T_{uu}^{-1}C_{u}+C_{s}\right]\\
\Omega_{y} & =Z_{1u}-Z_{1s}S_{ss}^{-1}S_{su}+Z_{1s}S_{ss}^{-1}(T_{su}-T_{ss}Z_{1s}^{-1}Z_{1u})T_{uu}^{-1}S_{uu}\\
\Psi_{x} & =Z_{2s}Z_{1s}^{-1}\\
\Psi_{y} & =Z_{2u}-Z_{2s}Z_{1s}^{-1}Z_{1u}
\end{aligned}$$`

---

## 入力項の処理

ここまで, Blanchard and Khan および Klein にしたがってショック項を取り扱ってきた。しかし, **実用上は AR ショックを先決変数に含めるのが普通** である

`$$\begin{aligned}
  u_{t+1}  &= \Phi u_t\\
  Ex_{t+1} &= Ax_t + Bu_t
\end{aligned}$$`

を

`$$\begin{aligned}
  \begin{bmatrix}
    I & \\
      & E
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    u_{t+1} \\ x_{t+1}
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
    \Phi & \\
    B    & A
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    u_{t} \\ x_{t}
  \end{bmatrix}
\end{aligned}$$`

---

### 入力項の処理

`$$\begin{aligned}
  \begin{bmatrix}
    I & \\
      & E
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    u_{t+1} \\ x_{t+1}^1 \\ x_{t+1}^2
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
    \Phi & \\
    B    & A
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    u_{t} \\ x_{t}^1 \\ x_{t}^2
  \end{bmatrix}
\end{aligned}$$`

`$$\downarrow$$`

`$$\begin{aligned}
  \tilde{\!E} 
  \begin{bmatrix}
    \tilde{\!x}^1_{t+1} \\ x_{t+1}^2
  \end{bmatrix}
  =
  \tilde{\!A}
  \begin{bmatrix}
    \tilde{\!x}^1_{t} \\ x_{t}^2
  \end{bmatrix}
\end{aligned}$$`

---

### 入力項の処理: AR ショックの解

`$x$` の定義を適切に扱えば `$Ex_{t+1} = Ax_t$` の解法を使ってARショックのケースを解くことができる

`$$\begin{aligned}
x_{t+1}^{1} &= h(x_t^1) = Z_{1s}S_{ss}^{-1}T_{ss}Z_{1s}^{-1}x_{t}^{1}\\
x_{t}^{2} &= g(x_t^1) = Z_{2s}Z_{1s}^{-1}x_{t}^{1}
\end{aligned}$$`

---

## Impulse Response

`$\Phi = 0$`, `$u_0 = 1$` として以下のモデルをとけばよい

`$$\begin{aligned}
  \begin{bmatrix}
    I & \\
      & E
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    u_{t+1} \\ x_{t+1}^1 \\ x_{t+1}^2
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
    0    & \\
    B    & A
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    u_t \\ x_{t}^1 \\ x_{t}^2
  \end{bmatrix}
\end{aligned}$$`

---

---

## 確率モデル

`$$E \mathbb E_t[x_{t+1}]=Ax_{t}+Bu_{t}$$`

* `$E, A, B$`: constant matrices
* `$\mathbb E_t$`: conditional expectations operator

モデルの解は

`$$\begin{aligned}
  x_{t+1}^1 &= h\left(x_t^1, 
    (\mathbb E_t [u_\tau])_{\tau \ge t} \right) + \xi_{t+1}\\
  x_t^2 &= g\left(x_t^1, 
     (\mathbb E_t [u_\tau])_{\tau \ge t} \right) 
\end{aligned}$$`

と表される。ただし, `$\xi$` は予測誤差

`$$\mathbb E_t [\xi_{t+1}] = 0$$`

---

### 先決変数

Klein (2000) による先決変数（backward-looking variable）の定義を確認しておく

`$x^1$` が先決変数であるとは

* `$x^1_0 = \bar x^1_0$` almost surely
* `$\mathbb E_t x_{t+1}^1 = x_{t+1}^1 + \xi_{t+1}$`, すなわち
  `$\mathbb E_{t} \xi_{t+1} = 0$`
  
`$t$`期では予測できない誤差を除いて，  `$t+1$`期の値を決めることができる変数が先決変数

分散共分散行列 `$\mathbb E_t \xi_{t+1}\xi_{t+1}^\top$` は positive semidefinite ( 決定論的な成分を含んでいてもよい `$\xi_{t+1, i} = 0$` a.s.)

---

### 条件付き期待値

LREモデルの解法を学ぶ上では次のことを理解していればよい

`$X$` を確率変数として

* `$\mathbb E_t$` は通常の期待値と同様に線形である
* `$\mathbb E_t X$` も確率変数である。 `$\mathbb E_t X$` は典型的には
  `$x^1_t$` などの `$t$` 期までに確定している変数で表現できる
* `$\mathbb E_t x_t = x_t$`
* 次の公式が使える `$\mathbb E_t \mathbb E_{t+1} X = \mathbb E_t X$`

決定論のケースと同じ `$g$` と `$h$` がモデルの解になっている

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### 解法の概略

`$\mathbb E_t$` 条件付きの解を次のように書ける

`$$\begin{aligned}
\mathbb E_t x_{t+1}^{1} &= h(\mathbb E_t x_t^1) = Z_{1s}S_{ss}^{-1}T_{ss}Z_{1s}^{-1} \mathbb E_t x_{t}^{1}\\
\mathbb E_t x_{t}^{2} &= g(\mathbb E_t x_t^1) = Z_{2s}Z_{1s}^{-1} \mathbb E_t x_{t}^{1}
\end{aligned}$$`

冗長な `$\mathbb E_t$` を除去して

`$$\begin{aligned}
\mathbb E_t x_{t+1}^{1} &= h(x_t^1) 
  = Z_{1s}S_{ss}^{-1}T_{ss}Z_{1s}^{-1} x_{t}^{1}\\
x_{t}^{2} &= g(x_t^1) 
  = Z_{2s}Z_{1s}^{-1} x_{t}^{1}
\end{aligned}$$`

先決変数の定義から

`$$\begin{aligned}
x_{t+1}^{1} &= h(x_t^1) + \xi_{t+1}
  = Z_{1s}S_{ss}^{-1}T_{ss}Z_{1s}^{-1} x_{t}^{1} + \xi_{t+1}\\
x_{t}^{2} &= g(x_t^1) 
  = Z_{2s}Z_{1s}^{-1} x_{t}^{1}
\end{aligned}$$`

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## 典型的な想定

`$$\begin{aligned}
E \mathbb E_t[x_{t+1}]
  &= Ax_{t}+Bu_{t}\\
u_{t+1} &= \Phi u_t + \epsilon_{t+1}
\end{aligned}$$`

`$\epsilon_{t+1}$` は確率過程

* `$\mathbb E_t \epsilon_{t+1} = 0$`, a.s.
* `$\mathbb E_t \epsilon_{t+1}\epsilon_{t+1} = \Sigma$`, a.s.

**通常の意味の先決変数 ( `$x^1_t$`) は `$\mathbb E_t$`- 条件付きの期待が実現するものとする**

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### 解こうとするモデル

形式的には

`$$\begin{aligned}
  \begin{bmatrix}
    I & \\
      & E
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    \mathbb E_t u_{t+1} \\ \mathbb E_t x_{t+1}^1 \\ \mathbb E_t x_{t+1}^2
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
    \Phi    & \\
    B    & A
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    \mathbb E_t u_t \\ \mathbb E_t x_{t}^1 \\ \mathbb E_t x_{t}^2
  \end{bmatrix}
\end{aligned}$$`

あるいは `$x_t^1$` が `$u_t$` を含んでいると考えれば

`$$\begin{aligned}
  \tilde{\!E} 
  \begin{bmatrix}
    \mathbb E_t\ \tilde{\!x}^1_{t+1} \\ 
    \mathbb E_t x_{t+1}^2
  \end{bmatrix}
  =
  \tilde{\!A}
  \begin{bmatrix}
    \mathbb E_t \ \tilde{\!x}^1_{t} \\ 
    \mathbb E_t x_{t}^2
  \end{bmatrix}
\end{aligned}$$`

というモデルを解けばいい

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## 解

`$(\tilde{\!E}, \tilde{\!A})$` に対するQZ分解を用いて

`$$\begin{aligned}
\mathbb E_t\ \tilde{\!x}^1_{t} &= h(\tilde{\!x}^1_{t}) 
  = Z_{1s}S_{ss}^{-1}T_{ss}Z_{1s}^{-1} \tilde{\!x}^1_{t}\\
x_{t}^{2} &= g(\tilde{\!x}^1_{t}) 
  = Z_{2s}Z_{1s}^{-1} \tilde{\!x}^1_{t}
\end{aligned}$$`

`$$\downarrow$$`

`$$\begin{aligned}
  \begin{bmatrix}
    u_{t+1} \\
    x_{t+1}^1
  \end{bmatrix}
  =
  Z_{1s}S_{ss}^{-1}T_{ss}Z_{1s}^{-1}
  \begin{bmatrix}
    u_{t} \\
    x_{t}^1
  \end{bmatrix}
  +
  \begin{bmatrix}
    I \\
    0
  \end{bmatrix}
  \epsilon_{t+1}
\end{aligned}$$`

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## Example: Neoclassical Growth Model

Euler Equation: 
`$$c_t^{-\gamma} 
  = \beta \mathbb E_t \left[
    c_{t+1}^{-\gamma}
    \left(
      \alpha A_{t+1} k_{t+1}^{\alpha - 1}
    +1 - \delta
    \right)
  \right]$$`
  
Capital Accumulation (National Income Identity):

`$$c_t + k_{t + 1}
  = A_t k_t ^ \alpha + (1 - \delta) k_t$$`
  
Productivity Shock: 
  
`$$\log A_{t+1}
  = \rho \log A_t + \sigma \epsilon_{t+1}$$`

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## Example: Analysis Strategy

1. Solve for a non-stochastic ( `$\epsilon\equiv 0$`) steady state: `$(\bar A, \bar k, \bar c)$`
2. Linearize around `$(\bar A, \bar k, \bar c)$` to get a linearized system.
3. Use Klein's method to compute the linear policy functions.

Then compute higher order approximations if necessary (Perturbation Method would be the next step).

* Schmitt-Grohé and Uribe (2004)