Day 04: 行列の固有値

# Day 04: 行列の固有値
## 経済動学 (2017Q1)
### 佐藤 健治
### 2017-04-17

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## 宿題 / Homework Assignment

HW04
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## 本日の目標

行列の対角化を復習する

* 固有値
* 固有ベクトル
* 対角化

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## 置換（Permutation）

有限個の自然数の集合 `$\{1,2,\dots,n-1,n\}$` を並び替える方法には `$n!$` 通りの方法がある。この並び替え全体の集合を
`$S_n$` で表す。

例えば
`$$\sigma'=(1,2,\dots,n-1,n)$$`
`$$\sigma''=(n,n-1,\dots,2,1)$$`

などが `$S_{n}$` の元である。

`$S_{n}$` の元を**置換 (permutation)**と呼ぶ。

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## 置換（Permutation）

```r
# install.packages("gtools")
gtools::permutations(3, 3)
```

```
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    2    3
## [2,]    1    3    2
## [3,]    2    1    3
## [4,]    2    3    1
## [5,]    3    1    2
## [6,]    3    2    1
```

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## 置換（Permutation）

置換 `$\sigma\in S_{n}$` を `$\{1,2,\dots,n\}$`
からそれ自身への全単射と考えて， `$\sigma'(1)=1$`， `$\sigma''(n-1)=2$` などのように書くこともできる

この記法は置換の合成 (通常，「積」と呼ばれる) の自然な定義を導いてくれる。すなわち

`$$(\sigma_{1}\sigma_{2})(i)=\sigma_{1}(\sigma_{2}(i)),\quad i=1,2,\dots,n.$$`

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## 恒等置換（Identity Permutation）

**恒等置換 (identity permutation)**とは，
`$$\sigma_{id}(i)=i,\quad i=1,\dots,n$$`
なる置換である。

```
> gtools::permutations(3, 3)

##      [,1] [,2] [,3]
*## [1,]    1    2    3
## [2,]    1    3    2
## [3,]    2    1    3
## [4,]    2    3    1
## [5,]    3    1    2
## [6,]    3    2    1
```

---

## 互換（transposition）

**互換 (transposition)**とは，2つの文字を入れ替える特別な置換である。すなわち `$i\neq j$` に対して
`$$\pi_{ij}(i)=j,\quad\pi_{ij}(j)=i,\quad\pi_{ij}(k)=k,\quad k\neq i,j.$$`

```
> gtools::permutations(3, 3)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    2    3
*## [2,]    1    3    2
*## [3,]    2    1    3
## [4,]    2    3    1
## [5,]    3    1    2
*## [6,]    3    2    1
```

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## 偶・奇置換（Even/Odd Permutation）

すべての置換は互換の積として表すことができる。

例えば， `$\sigma=(2,3,4,1)$` とすれば
`$$(1,2,3,4)\xrightarrow{\pi_{1,2}}(2,1,3,4)
  \xrightarrow{\pi_{1,3}}(2,3,1,4)\xrightarrow{\pi_{1,4}}(2,3,4,1)$$`

なので，

`$$\sigma=\pi_{1,4}\pi_{1,3}\pi_{1,2}$$`

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## 偶・奇置換（Even/Odd Permutation）

この分解の方法は一意的ではないが，分解を構成する互換の数は奇遇が不変となることが知られている

`$$\sigma = \underbrace{
  \pi_{1,4}\pi_{1,3}\pi_{1,2}
}_{n\text{ transpositions}}
\ \Rightarrow\ n\mod 2 = 1$$`

**奇置換 (odd permutation)**  
奇数個の互換の積に分解できる置換

**偶置換 (even permutation)**  
偶数個の互換の積に分解できる置換

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## 置換（Permutation）

関数 `$\mathrm{sgn}:S_{n}\to\{-1,1\}$` を次のように定義できる.

`$$\mathrm{sgn}(\sigma)=\begin{cases}
  -1 & \mbox{if }\sigma\mbox{ is odd}\\
  +1 & \mbox{if }\sigma\mbox{ is even}.
  \end{cases}$$`

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## 行列式の定義

正方行列 `$A=[a_{ij}]\in\mathbb{F}^{n\times n}$` に対して，**行列式 (determinant)** `$\det A$` ( `$|A|$`とも書く) を次のように定義する。
`$$\det A=\sum_{\sigma\in S_{n}}\mathrm{sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}.$$`

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## 行列式の性質

行列式は次の性質を持つ.

(1) `$\det A^{\top}=\det A$`.  
(2) `$\det C_{ij}A=-\det A$` (行の交換で符号が変わる).  
(3) `$\det D_{i}^{n}(a)A=a\det A$`  
   (行の `$a$`倍で行列式が `$a$`倍になる。 `$a=0$` もOK)  
(4) `$\det\left(E_{ij}^{n}(a)A\right)=\det A$`  
   (行の `$a$`倍を別の行に加えても行列式は変化しない).

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## 行列式の性質

(5)
`$$\det\left[\begin{smallmatrix}
      a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
      a_{i1}+b_{i1} & \cdots & a_{in}+b_{in}\\
      a_{n1} & \cdots & a_{nn}
      \end{smallmatrix}\right]=\det\left[\begin{smallmatrix}
      a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
      a_{i1} & \cdots & a_{in}\\
      a_{n1} & \cdots & a_{nn}
      \end{smallmatrix}\right]
      +
      \det\left[\begin{smallmatrix}
      a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
      b_{i1} & \cdots & b_{in}\\
      a_{n1} & \cdots & a_{nn}
      \end{smallmatrix}\right].$$`
(6) `$\det I = 1$`.  
(7) `$\det AB = \det A\det B$`.

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## 行列式の性質

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## 証明（nonsingular `$\Rightarrow \det A \neq 0$`）

`$A$` が正則であるとしよう。このとき，性質

(6) `$\det I = 1$`.  
(7) `$\det AB = \det A\det B$`.

より，

`$$1 = \det I = \det A \det A^{-1}$$`

が成り立つから `$\det A \neq 0$`。

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## 証明（ `$\det A \neq 0 \Rightarrow$` nonsingular）

次に， `$\det A \neq 0$` が成り立つとして， `$A$` の正則性を導こう。対偶（contraposition）「singular `$\Rightarrow \det A = 0$` 」を示す。

* `$A$`が正則でなければ `$A$`はフルランクでない（[Day 3](https://rawgit.com/rokko-ed17q1/slides/master/day03/day03.html#77)）。
* 正則行列 `$P, Q$` が存在して，

`$$PAQ=\left[
  \begin{array}{c|c}
    I_{d\times d} & O_{d\times(n-d)}\\
    \hline O_{(m-d)\times d} & O_{(m-d)\times(n-d)}
  \end{array}
\right]$$`
* `$\det PAQ = \det P \det A \det Q = 0$`
* `$P$`, `$Q$` は正則だから `$\det A = 0$`

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## 行列式の意味

2次正方行列

`$$A =
\begin{bmatrix}
  a & b \\
  c & d
\end{bmatrix}$$`

の行列式は定義に従って容易に計算することができる。

`$$\det A = ad - bc$$`

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## 行列式の意味

この量 `$ad - bc$` は，行列 `$A$`の列を成す2つのベクトル

`$$A_1 =
  \begin{bmatrix}
    a \\
    c
  \end{bmatrix},
  \quad
  A_2 =
  \begin{bmatrix}
    b \\
    d
  \end{bmatrix}$$`

が作る平行四辺形 (parallelogram) の（符号付き）面積と一致

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## 行列式の意味

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## 行列式の意味

一般の次数でも同様の考え方が適用できる。例えば，3次正方行列の行列式は，列ベクトルが作る平行6面体（parallelepiped）の符号付き体積と一致する

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="04-eigen/04-eigen.002.jpeg" alt="列ベクトルが成す平行六面体" height="380px" />
<p class="caption">列ベクトルが成す平行六面体</p>
</div>

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## 行列式の意味

このことから分かることは，行列を構成する列に同じ向きを持つ（平行な）ベクトルが含まれていると行列式は必ずゼロになるということである。

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="04-eigen/04-eigen.003.jpeg" alt="平行な列ベクトル" height="380px" />
<p class="caption">平行な列ベクトル</p>
</div>

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## 1次独立性

2本のベクトル `$v_1 \neq 0 \neq v_2$` が面積を持つ平行四辺形を作るための必要十分条件は，
`$v_1 = \alpha v_2$` となるような, `$\alpha \in \mathbb R$` が存在しないこと

ゼロと異なる3本のベクトル `$v_1, v_2, v_3$` が体積を持つ平行六面体を作るための必要十分条件は，
`$v_1 = \alpha v_2 + \beta v_3$` かつ `$\alpha$` と `$\beta$` が存在しないというものである。

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## 1次独立性

いずれかのベクトルがゼロである可能性も考慮して，次のような概念を定義すると便利である。

**1次独立（linearly independent）**
`$n$` 本のベクトル `$v_1, \dots, v_n$` が1次独立（linearly independent）であるとは,
`$\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}$` に対して
`$$\alpha_{1}v_{1}+ \cdots + \alpha_{n}v_{n}=0
\Rightarrow \alpha_{1}=\cdots=\alpha_{n}=0$$`
が成り立つことをいう

**1次従属（linearly dependent）**
1次独立でないベクトルの組は1次従属（linearly dependent）であるという

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## 列の1次独立性, 正則性, フルランク

.theorem[
  正方行列 `$A \in \mathbb R^{n \times n}$` について，次の条件は同値
  * `$A$` を構成する列 `$A_1, \dots, A_n$` は1次独立である
  * `$\det A \neq 0$`
  * `$\operatorname{rank} A = n$`
]

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## 証明の概要

行列を構成する列ベクトルが1次独立でなければ，列基本変形によりゼロのみからなる列を構成することができる。したがって，そのような行列の行列式はゼロでなければならない。

逆に，行列が1次独立な列をもつならば（後に示すように），その行列はフルランクである。したがって，行列式はゼロでない。

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## 列の1次独立性, 正則性, フルランク

これから先，正方行列の正則性は

* 列ベクトルの1次独立性
* 行列式がゼロでないこと
* 行列のランクが次数と一致すること

など同値な条件が形を変えて繰り返し現れることになる。

これらの関係を理解しておくと動学理論を見通しよく習得できる。

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## 固有値と固有ベクトル

複素数 `$\lambda$` が正方行列 `$A\in\mathbb{F}^{n\times n}$` の**固有値 (eigenvalue)**
であるとは，ゼロでない列ベクトル `$v\in\mathbb{C}^{n}$` が存在して
`$$Av=\lambda v$$`
が成り立つことをいう。ベクトル `$v$` を固有値 `$\lambda$` に対応する**固有ベクトル (eigenvector) **という。
一般に，行列を掛けるとベクトルの向きを回転させるのだが，固有ベクトルに対してだけは向きを変えないか，
あるいは `$\lambda$` が負であればベクトルの矢印を反転させる。

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## 固有値と固有ベクトル

固有ベクトルという言葉は，1つの固有値に対して1つの固有ベクトルがあるというような印象を与えるかもしれない。

しかし， `$v$` が固有ベクトルであれば， `$2v$` も `$-3v$` も固有ベクトルであることが容易に確かめられる。

あるいは，1つの固有値に対して，1次独立な `$v, w$` という2つの固有ベクトルが見つかることもある。
このとき `$v + w$` も `$-v + 3w$` も同じ固有値に対する固有ベクトルである。
**固有ベクトルとは特定の性質を持つベクトルの集合（固有空間 eigenspace）から任意に1つ選んだものと認識しておくとよい**

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## 固有値と固有ベクトル

方程式 `$Av=\lambda v$`の自明な変形により

`$$(\lambda I-A)v=0$$`
が得られる。この方程式がゼロでないベクトルを解に持つための必要十分条件は
`$$\phi_{A}(\lambda)=\det(\lambda I-A)=0$$`
が成り立つことである。

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## 固有多項式

`$\phi_{A}(\lambda)$` は `$\lambda$` に関する `$n$` 次多項式であり,
**固有多項式 (characteristic polynomial)** という。

`$\phi_{A}(\lambda)=0$` は重複度 multiplicity を込めて `$n$` 個の解を持つので， `$A$` は (重複度を込めて) `$n$` 個の固有値を持つ (Fundamental Theorem of Algebra)

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.exercise[
固有多項式の係数を
`$$\phi_{A}(\lambda)=\lambda^{n}+c_{1}\lambda^{n-1}+\cdots+c_{n}$$`
とすれば，
`$$c_{1}=-\operatorname{trace} A,\qquad c_{n}=(-1)^{n}\det A$$`
が成り立つことを示せ。

なお， `$\operatorname{trace} A = \sum_{i=1}^n A_{i,i}$` は行列 `$A$` のトレースといい，
対角成分を足して得られる数である。
]

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.theorem[
実行列 `$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$`が複素固有値 `$\lambda$` を持てば， `$\bar{\lambda}$` も `$A$` の固有値である。
]

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.theorem[
異なる固有値 `$\lambda_{1}\neq\lambda_{2}$` に対する固有ベクトル `$v_{1}$`， `$v_{2}$` は1次独立である。すなわち `$\alpha_{1},\alpha_{2}\in\mathbb{C}$` に対して，

`$$\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}
=
0\Rightarrow\alpha_{1}=\alpha_{2}=0$$`

]

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## 証明

定理の主張に反して1次従属であったとしよう。すなわち，同時にはゼロでない
`$\alpha_{1}, \alpha_{2}$` があって `$\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}=0$`を満たすとする。
一般性を失うことなく `$\alpha_1 \neq 0$` とできる。

このとき，
`$$\alpha_{1}Av_{1}+\alpha_{2}Av_{2}=0.$$`

固有値の定義より

`$$\alpha_{1}\lambda_{1}v_{1}+\alpha_{2}\lambda_{2}v_{2}=0.$$`

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## 証明（cont'd）

`$\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 = 0$` より,

`$$\alpha_1 (\lambda_1 - \lambda_2) v_1 = 0$$`

`$\alpha_{1}\neq0$`， `$v_{1}\neq0$`, `$\lambda_{1} \neq \lambda_{1}$`
であったから，これは不合理である。

従って，相異なる固有値に対応する固有ベクトルは1次独立でなければならない。

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## 一般のケース

2つ以上の異なる固有値についても同様のことが証明できる。

.theorem[
正方行列 `$A \in \mathbb R^{n \times n}$` が相異なる固有値 `$\lambda_{1}, \dots, \lambda_{n}$`
をもつとする。それぞれの固有値 `$\lambda_i$` に対応する固有ベクトル `$v_i$` としたとき，
`$\{ v_1, \dots, v_n \}$` は1次独立である。

すなわち，
`$\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{C}$` に対して `$\alpha_{1}v_{1}+ \cdots + \alpha_{n}v_{n}=0$`
が成り立てば， `$\alpha_{1}=\cdots=\alpha_{n}=0$` が成り立つ。
]

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## 計算方法の確認

対角化（diagonalization）というのは，行列の標準形（canonical form）の中でももっとも基本的なものであるから，
きちんと理解して使えるようになってほしい。

理論的な解説は次回以降に譲って，ここでは計算方法を思い出してもらおう。

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## 計算方法の確認

簡単のため，行列 `$A \in \mathbb R^{n \times n}$` の固有値
`$\lambda_1,\dots, \lambda_n \in \mathbb C$`
が互いに異なると仮定する。対応する固有ベクトルをそれぞれ
`$v_1,\dots, v_n \in \mathbb C^n$` とすれば，
`$$\begin{aligned}
Av_1 &= \lambda_1 v_1\\
&\vdots\\
Av_n &= \lambda_n v_n
\end{aligned}$$`
が成り立つ

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## 計算方法の確認

`$v_1, \dots, v_n$` を並べた行列
`$$V = \begin{bmatrix} v_1 & \cdots & v_n \end{bmatrix}$$`
を定義すれば，

`$$\begin{aligned}
AV &= \begin{bmatrix} Av_1 & \cdots & Av_n \end{bmatrix} \\
   &= \begin{bmatrix} \lambda_1 v_1 & \cdots & \lambda_n v_n \end{bmatrix}\\
   &= \begin{bmatrix} v_1 & \cdots & v_n \end{bmatrix}
   \begin{bmatrix}
     \lambda_1 &        & \\
               & \ddots & \\
               &        & \lambda_n
   \end{bmatrix} = VD
\end{aligned}$$`

が成り立つ。

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## 計算方法の確認

ただし，

`$$D = \begin{bmatrix}
\lambda_1 &        & \\
          & \ddots & \\
          &        & \lambda_n
\end{bmatrix}$$`

とおいた。

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## 計算方法の確認

もとの行列と対角化行列を行き来するために，固有ベクトルを並べた行列 `$V$` が重要な役割を果たす。

固有ベクトルの1次独立性により `$V$`が正則であることが分かる。 `$V^{-1}$`が存在するので，
`$$A = VDV^{-1}, \qquad D = V^{-1}AV$$`
という公式を得る。

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## 固有値の順序

`$V$` の作り方には自由度がある。固有ベクトルの並べる順序を変えると， `$D$` の中で固有値が並ぶ順序が変わる。

`$$\begin{aligned}
D &= \left[
  \begin{array}{c|c}
    D^s & 0 \\
    \hline
    0    & D^u
  \end{array}
\right] \\
V &= \left[
  \begin{array}{ccc|cccc}
    v_{s_1} & \dots & v_{s_k} & v_{u_1} & \dots & v_{u_{n-k}}
  \end{array}
\right]
\end{aligned}$$`

---

## 例題

行列
`$$J =
\begin{bmatrix}
  0 & -1\\
  1 & 0
\end{bmatrix}$$`

の固有値と固有ベクトルを計算してみよう。

`$$\det(\lambda J-I)
  =
  \left|
    \begin{bmatrix}
      \lambda & 1\\
      -1      & \lambda
    \end{bmatrix}
  \right|
  =
  \lambda^2 + 1$$`

だから，固有値は `$\pm i$` である。

---

## 例題

固有値 `$i$` に対する固有ベクトルは，

`$$\begin{bmatrix}
  0 & -1\\
  1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
  x\\
  y
\end{bmatrix}
=
i \begin{bmatrix}
  x\\
  y
\end{bmatrix}$$`

の解であり， `$x = iy$` によって特徴付けられる。例えば，

`$$v_i = \begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix}$$`
が固有ベクトルである。

---

## 例題

固有値 `$- i$` に対する固有ベクトルは，
`$$\begin{bmatrix}
  0 & -1\\
  1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}
= - i \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}$$`

の解であり， `$ix=y$` によって特徴付けられる。例えば，

`$$v_{-i}=\begin{bmatrix} 1\\ i \end{bmatrix}$$`
が固有ベクトルである。

---

## 例題

固有ベクトル `$v_{i}$` と `$v_{-i}$`を並べた行列
`$$V = \begin{bmatrix} v_{j} & v_{-j} \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
  i & 1\\
  1 & i
\end{bmatrix}$$`

は正則であり（ `$\det V = i^2 - 1 = -2$`），

`$$V^{-1}
=
\frac{1}{i^2-1}
\begin{bmatrix}
  i & -1\\
  -1 & i
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
  -i/2 & 1/2\\
  1/2 & -i/2
\end{bmatrix}.$$`

---

## 例題

`$$\begin{aligned}
  V\begin{bmatrix}
    i & 0\\
    0 & -i
  \end{bmatrix}V^{-1}
  & =
  \begin{bmatrix}
    i & 1\\
    1 & i
  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
    i & 0\\
    0 & -i
  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
    -i/2 & 1/2\\
    1/2 & -i/2
  \end{bmatrix}\\
  & =
  \begin{bmatrix}
    -1 & -i\\
     i & 1
  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
    -i/2 & 1/2\\
    1/2 & -i/2
  \end{bmatrix}\\
  & =
  \begin{bmatrix}
    0 & -1\\
    1 & 0
  \end{bmatrix}\\
   & = J.
\end{aligned}$$`

---

## 例題

あるいは
`$$\begin{bmatrix}
i & 0\\
0 & -i
\end{bmatrix}
=
V^{-1}JV$$`

が成り立つ。固有ベクトルを並べた行列 `$V$`によって `$J$` を対角行列に変形 (対角化) することができた。

**あらゆる行列に対してこのような変形ができる訳ではないことには注意が必要である。
すべての固有値が相異なる場合や，対称行列などが対角化が可能である**

---

## 複素数の行列表現

行列
`$$J = \begin{bmatrix}
  0 & -1\\
  1 & 0
\end{bmatrix}$$`
に対して
`$$J^{2}=-I$$`
が成り立つことに注意しよう。 `$I$` を実数の単位（すなわち， `$1$`）と対応させれば，
`$J$` が虚数単位と同じ性質を持つことが想像できるだろう。

---

## 複素数の行列表現

複素数 `$z = a + bi$` を行列を用いて
`$$Z
=
aI+bJ
=
\begin{bmatrix}
  a & -b\\
  b & a
\end{bmatrix}$$`
と表すことができる。これをさらに極形式 `$z = re^{i \theta} = r\cos \theta + i(r \sin \theta)$`，
`$r \ge 0, 0 \le \theta < 2\pi$` の記号を用いて書き直せば，次のようになる
`$$Z=r\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}$$`

---

## 複素数の行列表現

`$$Z^n
  \begin{bmatrix}
    x_{1}\\
    x_{2}
  \end{bmatrix}
  =
  r^n
  \begin{bmatrix}
    \cos n\theta & -\sin n\theta\\
    \sin n\theta & \cos n\theta
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    x_{1}\\
    x_{2}
  \end{bmatrix}$$`

をR上で計算し， `$Z$` がベクトルの伸縮と回転という複素数積と同様の性質を持っていることを確認しておこう。

---

## 複素数の行列表現

```r
r = 0.8; theta = pi / 6 # polar form
Z = r * matrix(c(cos(theta), -sin(theta),
                 sin(theta),  cos(theta)), nrow=2, byrow=TRUE)
v0 = c(1, 0) # initial vector

# iterative multiplication
simulation_size = 50 # >= 2
res = tibble(x1 = numeric(simulation_size),
             x2 = numeric(simulation_size))

res$x1[1] = v0[1]; res$x2[1] = v0[2]
for (i in 2:simulation_size) {
  v1 = Z %*% v0
  res$x1[i] = v1[1]; res$x2[i] = v1[2]
  v0 = v1
}

# plot
ggplot(res, aes(x1, x2)) + geom_point()
```

---

## 複素数の行列表現

---

## 実対角化

複素数を実係数の行列で表現できるという考え方は，実係数の範囲で行列を標準化（ブロック対角化,
実ジョルダン標準化）する場合などに役に立つ。一般に固有値・固有ベクトルは複素数・複素ベクトルであるが，考えたいモデルの自然な表現が実数である場合には，実標準形の方が望ましいというケースもあるだろう。

Klein (2000) が議論しているように，実標準形を用いる方が数値計算を高速に実行できるケースもある。

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## 実対角化

例えば，2次正方行列 `$A \in \mathbb R^2$` が対角化の手続きによって，
`$$AP = P \begin{bmatrix} a + bi & 0 \\ 0 & a - bi \end{bmatrix}$$`
と対角化できたとしよう。

共役複素数が必ずペアで現れることに注意せよ。

`$P$` は固有ベクトルを並べた行列である。

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## 実対角化

`$$\begin{aligned}
  AP
  &= P \left(
    a I + b \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & - i \end{bmatrix}
  \right) \\
  &=
  P(aV^{-1}IV + b V^{-1} J V)\\
  &=
  PV^{-1} (aI + bJ) V
\end{aligned}$$`
したがって，
`$$A(PV^{-1}) = (PV^{-1})(aI + bJ)$$`
が成り立つ。

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## 実対角化

すなわち，
`$$A = (PV^{-1})(aI + bJ)(PV^{-1})^{-1}$$`
とできる。これが `$A$`の実行列の範囲での標準化（real canonical form）の基本である。
2次より大きい行列の場合には，
現れる複素数の数だけ `$aI + bJ$` の形式のブロックが対角成分に並ぶ。

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## 実対角化

実対角化の結果は，例えば次のようなブロック対角行列になる。
`$$\begin{bmatrix}
  a_1 & -b_1 &     &      &       &        \\
  b_1 &  a_1 &     &      &       &        \\
      &      & a_2 & -b_2 &       &        \\
      &      & b_2 &  a_2 &       &        \\
      &      &     &      &\ddots &        \\
      &      &     &      &       & \ddots
 \end{bmatrix}$$`

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## 線形動学方程式と固有値

再び，線形動学方程式
`$$x_{t+1} = Ax_t$$`
を考えよう。

行列 `$A$` が `$AV = VD$` によって対角化されたとすると，
`$$x_{t+1} = AVV^{-1}x_t = VDV^{-1} x_t.$$`

`$y = V^{-1}x$` と定義すれば，
`$$y_{t+1} = Dy_t$$`

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## 線形動学方程式と固有値

`$y_t = D^t y_0$` は容易に計算することができる。実際，
`$$D =
\begin{bmatrix}
  \lambda_1 &        & \\
            & \ddots & \\
            &        & \lambda_n
\end{bmatrix}$$`
とすれば，
`$$D^t =
\begin{bmatrix}
  \lambda_1^t &        & \\
              & \ddots & \\
              &        & \lambda_n^t
\end{bmatrix}, \qquad t = 0,1,\dots$$`
が成り立つ。

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## 線形動学方程式と固有値

`$A^t = (VDV^{-1})^t= VD^tV^{-1}$` により, 固有値を用いて$x_t$ の振る舞いを分析できる。

固有値がすべて複素平面上の単位円の内側にあれば，原点は大域的に**漸近安定 asymptotically stable**である。
線形システムは安定であり，任意の初期値 `$x_0 \in \mathbb R^n$` に対して
`$\lim_{t\to\infty} x_t \to 0$` が成り立つ。

すべての固有値が単位円の外側にあれば，
任意の初期値 `$x_0 \neq 0$` に対して， `$x_t$` は発散する。すなわち， `$\| x_t \| \to \infty$` が成り立つ。このような挙動を指してシステムが**反安定 antistable**であると呼ぼう。

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## 線形動学方程式と固有値

絶対値が1より小さい固有値を**安定固有値（stable eigenvalue）**,
1より大きい固有値を**不安定固有値（unstable eigenvalue）**と呼ぶ。
（ただし，この呼び方は離散時間システムを考えている限りにおいてのみ意味がある。
連続時間システムでは別の条件によって安定性が特徴付けられる。）

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## 線形動学方程式と固有値

経済学においては，固有値のいくつかが安定であり，
残りが不安定であるというのが典型的である。このような原点を**鞍点（saddle）**，
システムの鞍点周りの挙動を鞍点安定（saddle-point stability）と呼んでいる。

実際には反安定となるケースもあるにはあるのだが，鞍点の方が発生しやすく，鞍点安定な均衡経路を探すことが重要な目標となっている。これは Ramsey モデルに対する Levhari-Liviatan
の定理である

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## 行列式

実行列の行列式は，ずばり `det()` で計算できる。

```r
A = matrix(1:9, nrow = 3)
det(A)
```

```
## [1] 0
```

```r
B = matrix(rnorm(16), nrow = 4)
det(B)
```

```
## [1] -1.42559
```

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## 行列式

残念ながら複素行列の行列式は計算できない。

```r
C = matrix(c(
    3 + 2i, -1 - 1i,
    5,      -3 + 2i
  ), nrow = 2, byrow = TRUE)
det(C)
```

```
## Error in determinant.matrix(x, logarithm = TRUE, ...): 'determinant' not currently defined for complex matrices
```

しかし，`det()` の計算をする必要があるケースは限られているだろう。

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## 行列式

どうしても必要な場合は次のように計算すればよい。

```r
prod(eigen(C, only.values = TRUE)$values)
```

```
## [1] -8+5i
```

これで行列式を計算できるのは，固有値の積が行列式と一致するという公式による。

`$\phi_A(\lambda)$` の定数項が `$\prod_i (-\lambda_i) = (-1)^n \det A$` であることを使う