Auteurs

Jean-Baptiste PRESSAC (CRBC, CNRS)
Laurent MELL (LABERS, UBO)

Si vous avez des commentaires à formuler ou des remarques à effectuer, vous pouvez nous contacter par mail (par le biais de nos noms ci-dessus). Par la même occasion, si vous souhaitez échanger plus en détail et/ou contribuer à cette démarche, nous sommes aussi disponibles.

Introduction

Ce premier travail s’inscrit dans une démarche de réflexion, plus large, que nous souhaitons entreprendre autour l’analyse de données multidimensionnelles. La spécificité de l’exercice réside dans le fait que nous allons nous concentrer sur l’analyse factorielle des correspondances (AFC). Notre objectif sera d’étudier les éventuelles liaisons entre les modalités de deux variables qualitatives. Par ailleurs, nous avons fait le choix d’utiliser le logiciel R ainsi que l’environnement de développement RStudio.

Les données

Les données sur lesquelles nous allons travailler proviennent, en partie, du MOOC Analyse des données multidimensionnelles sur la plateforme FUN11 Ce MOOC est proposé par François Husson, Jérôme Pagès et Magalie Houée-Bigot..

Les données sont issues d’un enquête du CREDOC publiée en 1974 par Nicole Tabard, intitulée “Besoins et aspirations des familles et des jeunes”22 Tabard N. (1974), Besoins et aspirations des familles et des jeunes, Caisse nationale des Allocations Familiales, Paris.. Le MOOC ne nous donne pas d’informations sur les circonstances dans lesquelles le questionnaire a été établi ni sur le nombre total de questions. Nous savons uniquement qu’il a porté sur 1724 femmes. L’AFC ne nous permettra pas d’analyser l’intégralité du questionnaire. De toute façon, nous allons nous focaliser sur une relation spécifique. Nous allons étudier l’articulation des réponses qualitatives à deux questions :

• Quelle est la famille idéale pour vous ?
• Quelle activité convient le mieux à une mère de famille quand ses enfants vont à l’école ?

Le point de départ de l’analyse est le tableau de contingence reproduit ci-dessous. C’est ce type de données (les marges des totaux mis à part) que nous fournirons à la fonction de calcul de l’AFC.

Comme le souligne François Husson dans le MOOC, il est difficile de savoir à partir de ce tableau si les femmes sont favorables ou non au travail féminin. En effet, 908 femmes sur 1 724, soit 52 % ont répondu que la famille idéale est celle où “seul le mari travaille”. Elles sont néanmoins 1 123 sur 1 724 (65 %) à avoir répondu que l’activité convenant le mieux à une mère de famille quand ses enfants vont à l’école est de travailler à mi-temps. L’AFC va nous permettre d’étudier le lien entre ces deux questions et de lever cette apparente contradiction. Elle va notamment nous permettre de visualiser la nature de la liaison entre les deux questions. Mais qu’est ce qu’une liaison ?

Une liaison entre deux variables est l’écart entre les données observées et le modèle d’indépendance. Mettons pour l’instant de côté cette notion, nous y reviendrons plus tard.

Création du projet RStudio

Commençons par ouvrir le logiciel RStudio et par créer un nouveau projet depuis le menu File > New Project. Choisissons ensuite “New directory” > “Empty project” puis saisissons AFC-sous-R dans Directory name. Téléchargeons le fichier AnaDo_JeuDonnees_TravailFemme.csv du tableau de contingence et plaçons-le dans le répertoire “AFC-sous-R”. Créons ensuite notre script R depuis File > New file > R script.

Définir la localisation du répertoire de travail

Il est très important, d’emblée, de définir le répertoire de travail. Il existe une commande getwd() qui permet d’afficher la localisation du répertoire de travail sous la forme d’un chemin absolu :

getwd()

## [1] "/Users/ubo/Documents/Recherche/R/AFC-sous-R"

La définition du répertoire de travail peut aussi être faite par le biais de la commande Set As Working Directory via l’onglet More33 Emplacement de l’onglet More. Cet onglet correspond au symbole de la roue crantée dans la fenêtre en bas à droite de RStudio.

Importation du jeu de données

Nous lisons ensuite le fichier CSV à partir de la fonction read.table() :

wfemmes <- read.table("AnaDo_JeuDonnees_TravailFemme.csv",
           header=TRUE, row.names=1, sep=";", check.names=FALSE,
           fileEncoding="latin1")

• La fonction read.table() permet de lire un fichier dans un format tabulaire et de créer une dataframe à partir de ce dernier.
  
• L’argument header=TRUEpermet de spécifier que la première ligne du jeu de données correspond aux intitulés des colonnes.
  
• L’argumentrow.names=1permet de spécifier que le nom des lignes est contenu dans la première colonne.
  
• L’argument sep=";"indique que le séparateur de colonne est le point-virgule.
  
• L’argument check.names=FALSE permet d’empêcher R de modifier la syntaxe du nom des modalités de variable.
• L’argument fileEncoding="latin1" permet de spécifier l’encodage du fichier.

Afin de faciliter, par la suite, la lecture et l’emploi du jeu de données, nous stockons le résultat dans la variable wfemmes.

Nous pouvons, très facilement et à n’importe quel moment, afficher le tableau de contingence wfemmes à partir du volet Data44 Emplacement du tableau de contingence dans la fenêtre en haut à droite de RStudio.

Seules les trois premières colonnes du jeu de données sont utilisées ici. Nous avons donc besoin de suppprimer les colonnes dont nous n’aurons pas l’utilité. Plus spécifiquement, nous n’allons sélectionner que les trois premières colonnes avec la commande suivante :

wfemmes <- wfemmes[1:3]

Dans cette commande :

• En spécifiant [1:3] (entre crochets), nous indiquons que nous ne sélectionnons que les 3 premières colonnes.

Nous pouvons voir que, dans le volet Data dans la fenêtre en haut à droite de RStudio, le nombre de variables affichées a été réduit55 Réduction du nombre de variables.

Afin d’amliorer la lecture du tableau et, par la suite, du graphique, nous allons renommer les modalités des deux variables grâce à la fonction dimnames() :

dimnames(wfemmes)[[1]][1]<-"Les 2 conjoints travaillent"
dimnames(wfemmes)[[1]][2]<-"Travail du mari plus absorbant"
dimnames(wfemmes)[[1]][3]<-"Seul le mari travaille"
dimnames(wfemmes)[[2]][1]<-"Rester au foyer"
dimnames(wfemmes)[[2]][2]<-"Travail à mi-temps"
dimnames(wfemmes)[[2]][3]<-"Travail à plein-temps"

Pour la fonction dimnames() :

• [[1]] (entre deux doubles crochets) permet de spécifier que nous allons renommer une ou plusieurs modalités en ligne.
• [[2]] (entre deux doubles crochets) permet de spécifier que nous allons renommer une ou plusieurs modalités en colonne.
• [1] (entre crochets) permet de spécifier que nous allons renommer la première modalité d’une variable.
• [2] (enter crochets) permet de spécifier que nous allons renommer la deuxième modalité d’une variable.

Suivant cette logique, lorsque nous écrivons, par exemple, (dimnames(wfemmes)[[2]][3]<-"..."), cela signifie que nous allons renommer la troisième modalité en colonne.

Notez que nous pouvons calculer sous R les marges lignes et les marges colonnes du tableau de contingence de la manière suivante :

Affichons ce tableau de manière plus agréable :

Il est aussi intéressant de calculer les pourcentages en ligne et les pourcentages en colonne avec la librairie Rcmdr.

wf_ligne <- wfemmes
wf_ligne[nrow(wf_ligne)+1, ] <- colSums(wf_ligne)
row.names(wf_ligne)[nrow(wf_ligne)] <- "Profil ligne moyen"
wf_ligne <- rowPercents(wf_ligne)

Pour rappel, la ligne “Profil ligne moyen” correspond à la répartition en pourcentage des modalités à la question sur “l’activité qui convient le mieux à une mère de famille quand les enfants vont à l’école”, quelque soit la réponse à la question sur la famille idéale. Le profil ligne moyen peut être comparé aux profils lignes (la répartition en pourcentages ou la distribution de probabilité d’une modalité en ligne). Ici, aucun des trois profils lignes n’est proche du profil ligne moyen.

Calculons maintenant le tableau des pourcentages en colonne.

wf_colonne <- wfemmes
wf_colonne$Total <- rowSums(wf_colonne)
wf_colonne <- colPercents(wf_colonne)
dimnames(wf_colonne)[[2]][4] <- "Profil colonne moyen"

Ce tableau permet de constater que la répartition des réponses sur la famille idéale pour la modalité “Travail à mi-temps” est le plus proche de la répartion des réponses à la question sur la famille idéale. Autrement dit, le profil colonne “Travail à mi-temps” est le profil colonne le plus proche du profil colonne moyen. Cette similitude se traduira sur le graphe de l’AFC comme nous le verrons plus loin.

Nous verrons également que l’on passera en paramètre à la fonction R de calcul de l’AFC, le tableau de contingence. Mais l’AFC travaille en réalité sur le tableau de probabilités que l’on peut calculer en divisant les valeurs du tableau de contingence par le nombre d’individus (on effectue le calcul sur le tableau de contingence avec marge pour mieux constater que l’effectif total du tableau de probabilité est bien égal à 1, ce qui est la marque d’une distribution de probabilités) :

wfemmes_tableau_de_probabilite <- wf_marges / 1724

Rappellons que notre objectif est de visualiser la nature de la liaison entre deux variables qualitatives. Mais faut-il encore que cette liaison soit significative.

Pour ce faire, nous réalisons un test du Khi2.

Test du Khi2

Le test du khi2 mesure la significativité d’une liaison mais pas son intensité. Afin de réaliser ce test du khi2, nous utilisons une fonction fournie de base avec le logiciel R. Il s’agit de la fonction chisq.test. Il n’est pas nécessaire d’installer une librairie supplémentaire afin de réaliser ce test.

chisq.test(wfemmes)

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  wfemmes
## X-squared = 233.43, df = 4, p-value < 2.2e-16

Le terme X-squared est à lire Khi2 soit Khi au carré. La fonction chisq.test nous donne, entre autres, la valeur du Khi2 qui est un indicateur de la significativité de la liaison. Mais ce qui nous interesse ici est la p-value. Nous voyons ici que la p-value est inférieure à 2,2x10^-16. Cela signifie que la probabilité que les variables soient indépendantes est inférieure à 2,2x10^-16. Ce qui nous permet de rejeter l’hypothèse d’indépendance entre les deux variables. Pour autant, cela ne veut pas dire que les variables soient dépendantes. Les réponses à la question sur la famille idéale sont probablement liées aux réponses concernant l’activité convenant le mieux à une mère de famille dont les enfants vont à l’école.

chisq.test(wfemmes) -> khi2wfemmes

Rappel de l’objectif

Notre objectif est bien de visualiser la nature de la liaison entre les deux variables qualitatives. Sachant qu’une liaison correspond à l’écart entre les données observées et le modèle d’indépendance, nous souhaitons donc visualiser la nature de l’écart à l’indépendance entre deux variables qualitatives.

Par ailleurs, il y a trois façons de caractériser la liaison entre les deux variables qualitatives.

• La significativité de la liaison (qui se mesure avec le test du khi2).
• L’intensité de la liaison (qui se mesure, entre autre, avec le Phi2).
• La nature de la liaison (qui correspond à l’association entre les modalités et qui est représentée par le biais de l’AFC).

Chargement des packages

Le test du Khi2 a permis d’écarter l’hypothèse d’indépendance. Il y a donc une liaison entre les modalités des deux variables. De fait, nous pouvons faire une AFC pour visualiser la nature de la liaison. Pour notre part, nous avons choisi d’utiliser le package FactoMineR (dédié à l’analyse multidimensionnelle de données) mais il y en existe d’autres qui peuvent être utilisés pour réaliser ce type de méthode statistique.

Nous chargeons donc la librairie FactoMineR permettant de réaliser plusieurs analyses de données multi-dimentionnelles (AFC, ACP, ACM, etc.).

library (FactoMineR)

AFC - Les résultats

Lors du précédent test du khi2, nous avons obtenu une p-value inférieure à 2,2x10^-16. Nous avons donc rejeté l’hypothèse d’indépendance entre les deux variables et admis que la liaison entre ces deux variables est signficative.

Nous sommes en droit de réaliser une AFC afin de visualiser la nature de la liaison. Pour ce faire, nous allons employer la fonction CA(), fournie par le package FactoMineR que nous venons de charger. Précédemment, nous avons stocké notre jeu de données dans la variable wfemmes. Nous exécutons une analyse factorielle des correspondances (AFC) sur notre jeu de données de la manière qui suit :

afcwfemmes <- CA(wfemmes)

Afin de faciliter, par la suite, la lecture et l’emploi des résultats cette AFC, nous les stockons dans la variable afcwfemmes.

Revenons un instant sur ce fameux tableau 37, issu de l’enquête de Nicole Tabard, croisant les deux variables (questions) :

• Quelle est la famille idéale pour vous ?
• Quelle activité convient le mieux à une mère de famille quand ses enfants vont à l’école ?

Il est important de rappeler que les résultats de cette enquête ont été publiés en 19741010 Rappel du tableau de contigence. Il est fort à parier que la répartition des réponses serait totalement, si ce n’est en grande partie, différente aujourd’hui.

Lors d’une première lecture de ce tableau de contingence, François Husson soulève une apparente contradiction. À la question “Quelle est la famille idéale pour vous ?”, nous voyons que 908 femmes sur 1 724 (visible dans la marge colonne), soit environ 53 % des répondantes, déclarent “Seul le mari travaille” et seulement 261 femmes sur 1 724 (environ 15 %) déclarent “Les deux conjoints travaillent également”. Sur la base de ces premières réponses, nous pouvons émettre l’hypothèse, qu’à cette époque, une majorité était en faveur d’un modèle familial où seul le mari travaille.

À côté de ça, à la question “Quelle activité convient le mieux à une mère de famille quand ses enfants vont à l’école ?”, elles sont 1 440 sur 1 724 (visible dans la marge ligne), soit environ 84 %, à être en faveur du travail à mi-temps ou à plein-temps. Les réponses à cette question semblent indiquer que les femmes sont moins hostiles au travail féminin (bien au contraire).

Du coup, à ce stade de l’interprétation, nous nous retrouvons a priori face une contradiction.

De cela, nous pouvons dire que le tableau de contingence ne permet pas de savoir si les femmes des années 70 sont favorables ou non à l’activité féminine. Par contre, Une première lecture du graphe de l’AFC nous permet de dire que les modalités des réponses s’associent entre elles des plus favorables au travail féminin aux plus défavorables au travail féminin.

Avant d’approfondir, plus en détail, l’interprétation de cette AFC, nous allons faire un pas de côté et voir ce qui se passe dans le cas où il y aurait indépendance entre les deux variables.

Si nous réalisons une AFC avec les données du modèle d’indépendance :

afcwfemmes.independance <- CA(khi2wfemmes$expected)

La lecture de ce graphique nous permet de voir que les points sont quasiment tous confondus avec le centre de gravité, correspondant au profil moyen. La représentation graphique est trompeuse mais l’échelle des axes va dans le sens de notre interprétation. Simplement, ce qu’il y a retenir de ce graphe, c’est que, lorsqu’il y a indépendance entre les deux variables, tous les points sont confondus avec l’origine. Du fait qu’il n’y ait pas d’écarts à l’indépendance, il n’y a graphiquement rien à exploiter, rien à interpréter, rien à analyser. Ce graphe donne à voir ce que nous avons précédemment énoncé, à savoir que :

• Si nous acceptons l’hypothèse d’indépendance (p-value > 0,05 dans le cas d’un test du khi2), nous n’aurons pas d’utilité à réaliser une AFC car les points projetés seront extrêmement proches ou confondus avec le centre de gravité, confondus avec le centre du graphe.
• La réalisation d’un test du khi2 est donc fortement conseillée avant la réalisation d’une AFC.
• Plus précisément, le test du khi2 conditionne l’éventuelle réalisation d’une AFC.

Les résultats qui suivent vont aussi dans le sens de notre propos :

summary(afcwfemmes.independance)

## 
## Call:
## CA(X = khi2wfemmes$expected) 
## 
## The chi square of independence between the two variables is equal to 2.223396e-29 (p-value =  1 ).
## 
## Eigenvalues
##                        Dim.1   Dim.2
## Variance               0.000   0.000
## % of var.             87.369  12.631
## Cumulative % of var.  87.369 100.000
## 
## Rows
##                                  Iner*1000   Dim.1 ctr cos2   Dim.2 ctr
## Les 2 conjoints travaillent    |         0 |     0   0    0 |     0   0
## Travail du mari plus absorbant |         0 |     0   0    0 |     0   0
## Seul le mari travaille         |         0 |     0   0    0 |     0   0
##                                cos2  
## Les 2 conjoints travaillent       0 |
## Travail du mari plus absorbant    0 |
## Seul le mari travaille            0 |
## 
## Columns
##                                  Iner*1000   Dim.1 ctr cos2   Dim.2 ctr
## Rester au foyer                |         0 |     0   0    0 |     0   0
## Travail à mi-temps             |         0 |     0   0  NaN |     0   0
## Travail à plein-temps          |         0 |     0   0    0 |     0   0
##                                cos2  
## Rester au foyer                   0 |
## Travail à mi-temps              NaN |
## Travail à plein-temps             0 |

Dans le cas où il y a indépendance entre les deux variables, le test du khi2 nous donne une p-value = 1. Les coordonnées (dim.n) des modalités en ligne et en colonne, sur chacune des dimensions, sont égales à 0. Il en va de même pour leur contribution à la construction (ctr) de chaque dimension et leur qualité de réprésentation (cos2) sur chaque dimension.

Quittons ce cas d’indépendance et revenons maintenant à notre premier jeu de données où la liaison entre les variables est significative.

Les différentes fonctions proposées par le logiciel R, ainsi que celles associées aux multiples packages disponibles, nous permettent l’affichage du graphe.

plot(afcwfemmes, cex = 0.7, cex.axis = 0.6, cex.lab = 0.8,
     title = "Représentation graphique", 
     selectRow = "cos2 0.7", selectCol = "cos2 0.7")

Voici le détail des arguments que nous avons utilisés avec la fonction plot() :

• L’argument cex= permet de modifier la taille des points et des textes accompagnant ces points.
  
• L’argument cex.axis permet de modifier la taille des annotations d’axe.
  
• L’argument cex.lab permet de modifier la taille des intitulés d’axe.
  
• L’argument title= permet de donner un titre au graphique.
  
• L’argument selectRow= permet de sélectionner les modalités en ligne à afficher en fonction de critères particuliers.
  
• L’argument selectCol= permet de sélectionner les modalités en colonne à afficher en fonction de critères particulier.

Ce ne sont que quelques arguments, parmi d’autres, en vue d’améliorer la représentation graphique. Dans le jeu de données qui nous concerne, ces améliorations restent mineures et n’ont que peu d’impact sur la représentation graphique. Par contre, dans le cas où nous aurions à travailler sur un tableau de contingence, dont chacune des variables comporte au moins une vingtaine de modalités, ces améliorations graphiques prendraient d’autant plus d’importance.

Appuyons-nous sur un exemple pour illustrer notre propos. Nous allons utiliser des données de l’INSEE sur les spécificités socioprofessionnelles régionales.

Importons donc le jeu de données.

pcsregion <- read.table("pcsregion.csv", header=TRUE, row.names=1, 
             sep=";", check.names=FALSE, fileEncoding="latin1")

Lisons le jeu de données.

View(pcsregion)

Lorsque nous réalisons une AFC avec ce jeu de données, nous obtenons ceci :

afcpcsregion <- CA(pcsregion)

Soyons honnêtes. Avec “seulement” 30 modalités (8 modalités en colonne et 23 modalités en ligne), nous voyons que le graphe est (en grossissant légèrement le trait) “totalement” illisible. C’est dans ce contexte que l’utilisation des différents arguments, que nous avons détaillés plus haut autour de la fonction plot(), prennent leur véritable importance.

plot(afcpcsregion, cex = 0.6, cex.axis = 0.6, cex.lab = 0.8, 
     title = "Spécificités socioprofessionnelles régionales", 
     selectRow = "cos2 0.7", selectCol = "cos2 0.7")

De cette manière, nous pouvons, par exemple, jouer sur la taille des noms de modalité et ne sélectionner que celles qui ont une qualité de représentation significative (arbitrairement cos2 > 0,7). Alors, bien évidemment, il ne s’agit que d’un exemple pour souligner l’éventail des possibilités mis à notre disposition en vue d’améliorer la représentation graphique, ainsi que la lecture et l’analyse des données.

Revenons maintenant à nos données initiales quant aux représentations sur le travail féminin.

Le nombre d’axes à interpréter

Au-delà de la simple lecture visuelle du graphe, il existe d’autres moyens d’interpréter nos données. À partir de là, il serait intéressant de déterminer le nombre d’axes à interpréter.

Les valeurs propres (i.e. variance) des axes :

afcwfemmes$eig

##       eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
## dim 1 0.11684002               86.29218                          86.29218
## dim 2 0.01856045               13.70782                         100.00000

Dans le résultat de afcwfemmes$eig, les axes (aussi appelés facteurs) sont appelés dim. La valeur propre ou eigenvalue représente la quantité d’information expliquée par l’axe. La deuxième colonne renvoie au pourcentage d’inertie, correspondant à la proportion des variations totales des variables originales expliquées par chaque axe.

Nous pouvons, à la suite, effectuer une représentation de l’histogramme des valeurs propres :

barplot(afcwfemmes$eig[,1], main="Histogramme des valeurs propres", 
       sub = "Représentations des femmes sur le travail féminin", 
       xlab = "Axes", ylab = "Pourcentage d'inertie",
       cex.axis = 0.8, cex.names = 0.8, col ="orange",
       names.arg = 1:nrow(afcwfemmes$eig))

Détails des arguments utilisés dans la fonction barplot() :

• L’argument main= correspond au titre du graphique.
• L’argument sub= correspond au sous-titre du graphique.
• L’argument xlab= correspond au titre de l’axe x.
• L’argument ylab= correspond au titre de l’axe y.
• L’argument cex.axis= permet de modifier la taille des valeurs numériques du graphique.
• L’argument cex.names= permet de modifier la taille des valeurs lettrées du graphique.
• L’argument col= permet de modifier la couleur des barres.
• L’argument names.arg= permet de nommer chaque barre.

L’histogramme va servir visuellement à déterminer le nombre d’axes à interpréter à l’aide du critère du “coude” de Cattell. Lorsqu’on observe un décrochement entre deux axes, on détermine les axes avant ce décrochement comme étant les axes à interpréter. Ce n’est pas la seule règle possible. Un autre critère de choix, appelé « critère de Kaiser », suggère de garder tous les axes dont la valeur propre est supérieure à la valeur propre moyenne (qui vaut par définition 1 divisé par le nombre d’axes). Pour plus d’informations, nous vous invitons à vous reporter au lien suivant afin d’approfondir ce travail1111 Perdoncin A. et Mercklé P. (2014), Représenter graphiquement les résultats d’une analyse factorielle avec R, http://quanti.hypotheses.org/930..

Ce jeu de données ne permet pas de réellement saisir cette démarche qui vise à déterminer le nombre d’axes à interpréter. Pour ce faire, reprenons nos données sur les spécificités socioprofessionnelles régionales.

Voici les valeurs propres des axes :

afcpcsregion$eig

##         eigenvalue percentage of variance
## dim 1 0.0472259511             70.5870208
## dim 2 0.0108625347             16.2358606
## dim 3 0.0045071587              6.7366965
## dim 4 0.0028026530              4.1890299
## dim 5 0.0010305300              1.5402981
## dim 6 0.0003226686              0.4822818
## dim 7 0.0001530858              0.2288122
##       cumulative percentage of variance
## dim 1                          70.58702
## dim 2                          86.82288
## dim 3                          93.55958
## dim 4                          97.74861
## dim 5                          99.28891
## dim 6                          99.77119
## dim 7                         100.00000

Dans ce nouvel exemple, nous abtenons sept facteurs (ou axes). Présentons, dans la foulée, l’histogramme des valeurs propres :

barplot(afcpcsregion$eig[,1], main="Histogramme des valeurs propres",
       sub = "Spécificités socioprofessionnelles régionales", 
       xlab = "Axes", ylab = "Pourcentage d'inertie",
       cex.axis = 0.8, cex.names = 0.8, col ="orange",
       names.arg = 1:nrow(afcpcsregion$eig))

À la vue de cet histogramme, nous pourrions ne retenir que les deux premières dimensions et réaliser une AFC qu’en fonction de ces deux dernières. Toutefois, rien ne vous empêche de “relancer” une AFC avec la dimension 3, voire la dimension 4. Ce n’est pas parce que les deux premières dimensions sont les plus explicatives que les suivantes n’ont rien à dire.

Les résultats

La fonction summary est extrêmement utile dans ce contexte.

summary(afcwfemmes, nbelements = Inf)

## 
## Call:
## CA(X = wfemmes) 
## 
## The chi square of independence between the two variables is equal to 233.4304 (p-value =  2.410248e-49 ).
## 
## Eigenvalues
##                        Dim.1   Dim.2
## Variance               0.117   0.019
## % of var.             86.292  13.708
## Cumulative % of var.  86.292 100.000
## 
## Rows
##                                  Iner*1000    Dim.1    ctr   cos2    Dim.2
## Les 2 conjoints travaillent    |    55.487 | -0.559 40.432  0.851 |  0.233
## Travail du mari plus absorbant |    28.675 | -0.244 16.371  0.667 | -0.172
## Seul le mari travaille         |    51.239 |  0.310 43.197  0.985 |  0.038
##                                   ctr   cos2  
## Les 2 conjoints travaillent    44.429  0.149 |
## Travail du mari plus absorbant 51.436  0.333 |
## Seul le mari travaille          4.135  0.015 |
## 
## Columns
##                                  Iner*1000    Dim.1    ctr   cos2    Dim.2
## Rester au foyer                |    68.489 |  0.618 53.913  0.920 |  0.183
## Travail à mi-temps             |     6.478 | -0.004  0.007  0.001 | -0.100
## Travail à plein-temps          |    60.434 | -0.541 46.079  0.891 |  0.189
##                                   ctr   cos2  
## Rester au foyer                29.613  0.080 |
## Travail à mi-temps             34.853  0.999 |
## Travail à plein-temps          35.533  0.109 |

Cette fonction summary nous permet d’obtenir :

• Le résultat du test du khi2 (uniquement sur les lignes et les colonnes actives) avec la p-value.
• Un tableau avec les valeurs propres, les pourcentages d’inertie associés à chaque dimension.
• Un tableau avec les résultats sur les lignes actives avec leur coordonnée (dim.n) sur chaque dimension, leur contribution à la construction (ctr) de chaque dimension et leur qualité de réprésentation (cos2) sur chaque dimension.
• Un tableau avec les résultats sur les colonnes actives (dim.n, ctr, cos2).
• Un tableau (optionnel) avec les résultats sur les éléments supplémentaires en ligne avec la coordonnée (dim.n) et la qualité de représentation (cos2).
• Un tableau (optionnel) avec les résultats sur les éléments supplémentaires en colonne avec la coordonnée (dim.n) et la qualité de représentation (cos2).

Par ailleurs, la fonction summary n’affichera, par défaut, que les 10 réponses les plus significatives.

• L’argument nbelements=Inf permet de retirer cette limite.
• Dans l’exemple qui nous concerne ce n’est utile puisque chacune des deux variables ne dispose que de trois modalités.
• Mais, dans un certain nombre de cas, cette argument est précieux.

Ce qu’il appelle la Variance est aussi appelée dans la littérature “valeur propre” ou “inertie”. La variance mesure l’intensité de la liaison entre les deux variables expliquées par cet axe. La variance est comprise entre 0 et 1. Le total des variances (le Phi2) est la mesure de l’intensité de la liaison (liaison = l’écart à l’indépendance).

• Ici, le Phi2 = 0.117 + 0.019 = 0.136

À quoi comparer cette valeur ?

Les variances étant au maximum égales à 1, le Phi2 peut avoir au maximum une valeur de 2. 0.136 << 2 : L’intensité de la liaison est faible. Les réponses s’associent globalement peu entre elles. Mais rares sont les cas où l’intensité de la liaison entre les variables est forte.

Le % of var, soit le pourcentage de variance, représente le % de variance expliqué par l’axe. Autrement dit, la dimension 1 (ou l’axe 1) explique 86.292 % de la variance entre les deux variables. Et le plan constitué des axes 1 et 2 explique 100% de la variance. Ce qui est normal puisque les pourcentages se répartissent sur tous les axes. S’il y avait eu 8 axes, le pourcentage d’inertie se serait réparti sur les 8 axes.

Ce qu’il faut savoir c’est que le nombre d’axes est égal au nombre minimum entre le nombre de colonnes - 1 et le nombre de lignes - 1 du tableau de contingence. Autrement, si vous avez un tableau de contingence avec en ligne 9 modalités et en colonnes 15 modalités. On fait 9 - 1 = 8 puis 15 - 1 = 14 et on garde 8.

Interpréter la position des points sur le graphe

Le centre de l’axe correspond au profil ligne moyen et au profil colonne moyen. Nous avions précedemment calculé les profils moyens et nous avions effectivement constaté que le profil de la modalité “Travail à mi-temps” était proche du profil colonne moyen.

Peut-on interpréter la position entre deux point lignes ou deux points colonnes ? La réponse est “oui” ! Les points lignes (resp. les points colonnes) qui ont des profils lignes (resp. des profils colonnes) similaires sont proches sur le graphe. Ce n’est le cas d’aucun des points du graphe issu des données de Nicole Tabard.

Par contre, on peut ne peut pas interpréter la proximité entre un point ligne et un point colonne. On peut seulement dire que que les lignes sont “du côté” des colonnes auxquelles elles s’associent le plus, dans la mesure où ces colonnes sont éloignées du centre de gravité. Et respectivement, les colonnes sont “du côté” des lignes avec lesquelles elles s’associent le plus, dans la mesure où ces lignes sont éloignées du centre de gravité. On en veut pour preuve que sur le graphe “seul le mari travaille” est du côté de “rester au foyer”.

Sur le graphe, “Seul le mari travaille” et “du côté” de “rester au foyer”. Si on revient sur le tableau de contingence (affiché ci-dessous), cela peut sembler contradictoire puisque 573 personnes ont répondu à “seul le mari travaille” et “travailler à mi-temps” alors que seulement 241 personnes ont répondu à “seul le mari travaille” et “rester au foyer”. “Seul le mari travaille” ne devrait-il pas être du côté de “Travailler à mi-temps” ?

C’est tout simplement parce qu’il ne faut pas regarder le tableau de contingence mais le tableau des pourcentages en colonnes car on veut comparer une modalité en ligne avec les trois autres modalités en colonne. Or dans ce tableau, la ligne “Seul le mari travaille” représente 84,9% des réponses à la colonne “Rester au foyer”. C’est son meileur score commparé aux autres colonnes. C’est pourqoui on peut dire que“Seul le mari travaille” est “du côté” de “Rester au foyer”.

Conclusion

Comme nous l’avons annoncé en introduction, notre objectif était de nous concentrer sur l’analyse factorielle des correspondances (AFC) et d’étudier les éventuelles liaisons entre les modalités de deux variables qualitatives. Avec ce premier travail, nous avons apporté un certain nombre d’éléments de lecture, d’analyse et d’interprétation. Nous pousuivrons cet exercice dans une seconde partie prochainement. Nous chercherons, entre autres, à approfondir la question de l’interprétation de l’AFC (détermination du nombre d’axes à interpréter, interprétation des coordonnées des modalités actifs, interprétation de la contribution et de la qualtité de représentation des modalités, élaboration de la typologie, etc.).